Previous Entry Поделиться
Плоская вселенная и геометрия для всех
енотик
johnas42
Если вы не специалист по теоретической физике или римановой геометрии, то
слова <секционная кривизна>, <тензор Риччи> и <метрика пространства> вам
никакой информации не дадут. Тем не менее, вы в обычной жизни иногда легко
говорите что-то вроде <кривой>, <прямой> <искривлённый> и так далее. Если от
вас потребовать строгого определения того, что есть плоская поверхность, а
что есть искривлённая поверхность, вы в лучшем случае скажете что-то вроде
<плоская это там, где нет вмятин и изгибов, а всё ровное. А изогнутая там
где всякие кривые линии или фигуры>. А если вас спросить является ли наша
вселенная плоской или изогнутой? Как вы будете определять её кривизну? У
людей далёких от геометрии и физики сразу возникает вопрос: а что нам даст,
если кто-то определит плоская вселенная или нет? Кому и для чего всё это
нужно? На самом деле это нужно всему человечеству в целом, и каждому, кто
интересуется устройством мира в отдельности. Если вы собираетесь на машине
ехать в другой пункт по дорогам, то вы смотрите на каком расстоянии от вас
находится пункт назначения, делите расстояние на скорость машины, и
получаете время, которое вы должны потратить, чтобы доехать до места. Если у
вас другая задача - за наименьшее время доехать до пункта назначения, то вы
должны найти наиболее короткий путь от вас до пункта назначения. В геометрии
наименьшее кривая, которая соединяет две точки и имеет наименьшую длину
называется геодезической. Если вы возьмёте лист бумаги, поставите на нём две
точки и начнёте рисовать все линии, соединяющие эти две точки, то самой
короткой из всех у вас всегда будет получаться отрезок прямой. Если вы этот
лист скатаете в трубочку, то отрезок прямой превратится в окружность. А если
вы этот лист сомнёте, то отрезок превратится совсем в странную кривую с
изгибами и изломами. Тем не менее, как бы вы не мяли лист, получающаяся
кривая всегда будет оставаться кратчайшим путём от одной точки к другой.
Теперь зададимся вопросом: а какой кратчайший путь соединяет нашу солнечную
систему скажем со звездой на другом конце галактики на расстоянии порядка
100 тысяч световых лет? Если мы уже открыли способ полёта между звёздами и у
нас есть звездолёт, то чтобы максимально быстро долететь до нужной звезды
нам нужно вычислить ту самую кратчайшую геодезическую, от нашего солнца до
нужной звезды. Если наша вселенная плоская, то этой кратчайшей геодезической
будет обычная прямая. А если вселенная это некая изогнутая поверхность типа
сферы, тора, параболоида и тому подобного, то кратчайшим путём будет уже
некая искривлённая линия отличная от простейшей прямой. Значит, нужно
сначала выяснить, плоская наша вселенная или нет. Любой математик на вопрос
<что такое плоское пространство?> вам ответит одной фразой: <это
пространства с метрикой нулевой кривизны>. Значит, сначала нужно выяснить
что такое кривизна пространства и как её определять. Для неспециалистов
кривизну пространства проще всего определять как степень отклонения некой
поверхности или линии от простой плоскости или прямой. Объявим плоскость и
прямые на ней пространствами нулевой кривизны. Если двумерная поверхность
получается выгибанием плоскости вверх, будем считать такую поверхность
пространством положительной (больше нуля) кривизны. Если поверхность
получается выгибанием плоскости вниз, будем считать её пространством
отрицательной кривизны. Однако, мы не можем сказать как и куда изгибается
наша вселенная, поскольку смотрим на неё не со стороны, а сами находимся
внутри неё. Значит нужно определять кривизну внутренними методами. Проще
всего взять простую геометрическую характеристику - сумму углов в
треугольнике. Если вы нарисуете равносторонний треугольник на плоском листе
бумаги, измерите величину всех его углов и сложите, вы всегда получите
значение 180 градусов. Этот факт доказывается в школьном курсе геометрии.
Теперь, возьмите сферу, например, поверхность мяча или любого другого шара.
Нарисуйте на сфере равносторонний треугольник, образованный дугами равной
длины. Нам нужно определить величину углов в этом криволинейном
треугольнике. Поскольку все три угла равны, достаточно найти величину одного
угла и умножить её на 3. Воткните в любую из вершин треугольника на
поверхности мяча иголку, а затем к ней приставьте две другие иголки так,
чтобы каждая из них торчала строго над дугой, представляющей сторону
треугольника, касаясь поверхности мяча. Вы обнаружите, что эти две
приставленные иголки образуют между собой прямой угол. Значит, угол между
сторонами треугольника на сфере равен 90 градусов. Умножаем на 3 и получаем
270 градусов. Оказалось, что в пространстве положительной кривизны сумма
углов в равностороннем треугольнике гораздо больше чем 180 градусов для
плоского пространства. Теперь, разрежьте сферу на две половины, и одну из
полусфер переверните внутренней поверхностью к себе. На этой внутренней
поверхности полусферы снова нарисуйте равносторонний треугольник,
образованный дугами одинаковой длины. Если вы снова воткнёте иголку в одну
из его вершин, приставите две других иголки, стараясь, чтобы они как можно
ближе находились к нарисованным сторонам, то обнаружите, что угол между ними
будет острым, меньше 60 градусов. Поскольку полусфера выгнута вниз, её
кривизна отрицательна (меньше нуля). Значит, сумма углов треугольника в
пространстве отрицательной кривизны всегда меньше 60 умножить на 3, то есть
180 градусов. Вот мы и получили способ определения кривизны пространства:
достаточно построить треугольник, посчитать сумму его углов, и если эта
сумма в точности равна 180 градусов, то пространство имеет нулевую кривизну,
если больше 180 градусов, значит пространство искривлено и имеет кривизну
больше нуля, а если сумма углов меньше 180 градусов, значит пространство
искривлено и имеет кривизну меньше нуля. Для трёхмерного пространства нужно
перейти от суммы углов треугольника к сумме углов правильного тетраэдра. В
тетраэдре углы уже образуют рёбра, сходящиеся к его вершине. В плоском
трёхмерном пространстве угол между двумя любыми рёбрами правильного
тетраэдра всегда равен 60 градусов. В трёхмерном пространстве с кривизной
больше нуля эти углы будут больше 60 градусов, а в трёхмерном пространстве с
кривизной меньше нуля соответственно меньше 60 градусов. Таким образом, нам
нужно найти во вселенной четыре объекта, находящихся друг от друга на равном
расстоянии, объявить их вершинами правильного тетраэдра, выпустить из
каждого в направлении соседнего луч, и измерить углы между такими лучами,
которые выполняют роль рёбер тетраэдра. Если в качестве таких объектов взять
яркие звёзды или галактики, то можно считать их вершинами тетраэдра. Далее,
с помощью геометрических построений и измерений расстояний от земли до
каждой из вершин тетраэдра, можно вычислить углы между всеми рёбрами такого
тетраэдра. Оказалось, что все эти углы близки к 60 градусом. Таким образом,
наша вселенная имеет нулевую кривизну, то есть является плоской, а
кратчайшим путём между двумя удалёнными объектами является прямая. Однако,
прямая будет наиболее коротким путём только в случае, когда звездолёт,
который летит от солнца к другой звезде способен преодолевать силу
притяжения очень массивных объектов. Если звездолёт приблизится к очень
массивной звезде или <чёрной дыре>, то сила притяжения этого объекта начнёт
отклонять звездолёт от идеальной прямой к себе, и он будет лететь уже по
некоторой изогнутой кривой. Отсюда следует, что для того, чтобы наш
звездолёт всегда находился на идеальной прямой, он должен быть оснащён
некими излучателями антигравитации, чтобы экранировать силу притяжения
любого массивного объекта. Если таких излучателей антигравитации на
звездолёте не будет, то он всегда будет лететь по изогнутой кривой, петляя
от одного массивного объекта гк другому. Другими словами, если учитывать
влияние гравитации на траекторию движения звездолёта, то кратчайшей
геодезической для него в пространстве будет уже не простая прямая, а
некоторая искривлённая линия. но, если кратчайшим путём между двумя точками
в пространстве является линия отличная от прямой, значит кривизна
пространства отлична от нуля и оно не является плоским. Мы приходим к тому
же выводу, к которому пришёл Эйнштейн в начале XX века о том, что в близи
массивных объектов во вселенной наше плоское пространство искривляется
подобно тому, как вы можете мять и изгибать изначально плоский лист бумаги.
Расстояния и длины путей в пространствах ненулевой кривизны как раз и
изучает риманова геометрия. Существует даже псевдориманова геометрия, где
метрика пространства устроена так, что две точки в пространстве не
совпадают, а расстояние между ними равно нулю. Это очень просто получить
даже на обычной двумерной плоскости. В школе нас учили, что расстояние между
двумя точками на плоскости с координатами (x_1,x_2) и (y_1,y_2) вычисляется
как квадратный корень из суммы квадратов разности координат, то есть корень
квадратный из (y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2. Такой способ измерения расстояний
называется евклидовой метрикой. А теперь представьте, что вместо плюса в
этой формуле стоит минус, и расстояние между этими же точками вычисляется
как квадратный корень из разности квадратов (y_1-x_1)^2-(y_2-x_2)^2. Этот
способ измерения расстояний называется псевдоевклидовой метрикой. Отсюда
сразу видно, что когда (y_1-x_1)=(y_2-x_2) расстояние между двумя точками
оказывается равным нулю. Если вычислить кривизну пространства с таким
способом измерения расстояния, то окажется, что оно имеет кривизну меньше
нуля, то есть не может быть плоским. Поскольку наша вселенная оказалась
плоской, то в нашей вселенной расстояние между любыми разными объектами
всегда больше нуля. Однако, если представить, что наша вселенная вложена в
некоторое пространство с большим числом измерений, то её можно изгибать в
этом надпространстве подобно тому, как мы можем изгибать двумерный лист
бумаги в нашем трёхмерном пространстве. Если это надпространство имеет
кривизну меньше нуля, то расстояние в нём измеряется уже способом подобным
описанному выше для двумерной плоскости с псевдоевклидовой метрикой.
Следовательно, если нашу вселенную изогнуть в этом надпространстве так,
чтобы наше солнце и некоторая удалённая звезда попали на концы кривой, длина
которой в искривлённом надпространстве равна нулю, мы можем мгновенно
попасть из одной точки в другую. Это подобно тому, как если бы вы поставили
на плоском листе бумаги две точки на разных краях листа, затем согнули бы
его так, чтобы обе этих точки совместились. Однако, для сгибания двумерного
листа необходимо третье пространственное измерение, а значит для изгибания
нашей вселенной необходимо четвёртое надпространственное измерение. Мы
пришли к тому, что вместо постройки звездолётов, которые долгие световые
годы должны лететь от звезды к звезде, достаточно найти способ искривление
нашего пространства так, чтобы две удалённые точки приближались друг к другу
на очень близкое расстояние. После такого сближения мы просто перебираемся
из одной точки в другую, и снова распрямляем пространство, оказываясь снова
на очень большом расстоянии в плоской вселенной. Вопрос только в том, каким
именно образом изгибать наше пространство. Пока таких способов науке не
известно. Но математический аппарат, позволяющий рассчитывать форму и силу
изгибания для мгновенного перехода из одной точки вселенной в другую уже
готов, и даже какие имеются виды различных четырёхмерных и пятимерных
пространств с кривизной меньше или больше нуля математикам известно.

?

Log in

No account? Create an account